Uma junta apolínea é um tipo de imagem fractal formada por uma coleção de círculos cada vez menores contidos em um único grande círculo. Cada círculo na Junta Apolínea é tangente aos círculos adjacentes - em outras palavras, os círculos na Junta Apolínea fazem contato em pontos infinitamente pequenos. Nomeado em homenagem ao matemático grego Apolônio de Perga, esse tipo de fractal pode ser desenhado (à mão ou por computador) em um grau razoável de complexidade, formando uma imagem bonita e marcante. Veja a Etapa 1 abaixo para começar.
Passos
Parte 1 de 2: Compreender os principais conceitos
Para ser perfeitamente claro, se você está simplesmente interessado em desenhar uma junta apolínea, não é essencial pesquisar os princípios matemáticos por trás do fractal. No entanto, se você quiser um entendimento mais profundo das juntas apolíneas, é importante entender as definições de vários conceitos que usaremos ao discuti-los.
Etapa 1. Defina os termos-chave
Os seguintes termos são usados nas instruções abaixo:
- Junta de Apolônio: um dos vários nomes para um tipo de fractal composto de uma série de círculos aninhados dentro de um grande círculo e tangente a todos os outros próximos. Eles também são chamados de "Círculos Soddy" ou "Círculos de Beijo".
- Raio de um círculo: a distância do ponto central de um círculo até sua borda. Normalmente atribuída à variável r.
- Curvatura de um círculo: O inverso positivo ou negativo do raio, ou ± 1 / r. A curvatura é positiva quando se trata da curvatura externa do círculo e negativa para a curvatura interna.
- Tangente: termo aplicado a linhas, planos e formas que se cruzam em um ponto infinitamente pequeno. Nas juntas apolíneas, isso se refere ao fato de que cada círculo toca cada círculo próximo em apenas um ponto. Observe que não há interseção - as formas tangentes não se sobrepõem.
Etapa 2. Compreender o teorema de Descartes
O teorema de Descartes é uma fórmula útil para calcular os tamanhos dos círculos em uma junta apolínea. Se definirmos as curvaturas (1 / r) de quaisquer três círculos como a, b e c, respectivamente, o teorema afirma que a curvatura do círculo (ou círculos) tangente a todos os três, que definiremos como d, é: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Para nossos propósitos, geralmente usaremos apenas a resposta que obtemos colocando um sinal de mais na frente da raiz quadrada (em outras palavras,… + 2 (sqrt (…)). Por enquanto, é suficiente saber que a subtração forma da equação tem seus usos em outras tarefas relacionadas
Parte 2 de 2: Construindo a Junta Apolínea
As juntas de Apolônio assumem a forma de belos arranjos fractais de círculos reduzidos. Matematicamente, as juntas apolínicas têm complexidade infinita, mas, se você estiver usando um programa de desenho de computador ou ferramentas de desenho tradicionais, você eventualmente chegará a um ponto em que será impossível desenhar círculos menores. Observe que quanto mais precisamente você desenha seus círculos, mais você será capaz de caber em sua gaxeta.
Etapa 1. Reúna suas ferramentas de desenho digital ou analógico
Nas etapas a seguir, faremos nossa própria junta apolínea simples. É possível desenhar juntas apolíneas à mão ou no computador. Em qualquer caso, você vai querer ser capaz de desenhar círculos perfeitamente redondos. Isso é bastante importante. Uma vez que cada círculo em uma gaxeta apolínea é perfeitamente tangente aos círculos próximos a ela, círculos que são mesmo ligeiramente deformados podem "jogar fora" seu produto final.
- Se estiver desenhando a gaxeta em um computador, você precisará de um programa que permita desenhar facilmente círculos de raio fixo a partir de um ponto central. Gfig, uma extensão de desenho vetorial para o programa gratuito de edição de imagens GIMP, pode ser usado, assim como uma grande variedade de outros programas de desenho (consulte a seção de materiais para links relevantes). Provavelmente, você também precisará de um aplicativo de calculadora e de um documento de processador de texto ou de um bloco de notas físico para fazer anotações sobre curvaturas e raios.
- Para desenhar a Junta à mão, você precisará de uma calculadora (científica ou gráfica sugerida), um lápis, compasso, régua (de preferência uma escala com marcações milimétricas, papel milimetrado e um bloco de notas para anotações.
Etapa 2. Comece com um grande círculo
Sua primeira tarefa é fácil - basta desenhar um grande círculo perfeitamente redondo. Quanto maior o círculo, mais complexa sua junta pode ser, então tente fazer um círculo tão grande quanto seu papel permitir ou tão grande quanto você possa ver facilmente em uma janela em seu programa de desenho.
Etapa 3. Crie um círculo menor dentro do original, tangente a um dos lados
Em seguida, desenhe outro círculo dentro do primeiro que seja menor que o original, mas ainda bem grande. O tamanho exato do segundo círculo depende de você - não existe um tamanho correto. No entanto, para nossos propósitos, vamos desenhar nosso segundo círculo de modo que alcance exatamente a metade do nosso grande círculo externo. Em outras palavras, vamos desenhar nosso segundo círculo de modo que seu ponto central seja o ponto médio do raio do círculo grande.
Lembre-se de que nas juntas apolíneas, todos os círculos que se tocam são tangentes uns aos outros. Se você estiver usando uma bússola para desenhar seus círculos à mão, recrie esse efeito colocando a ponta afiada da bússola no ponto médio do raio do grande círculo externo, ajustando o lápis de forma que toque apenas a borda do grande círculo, em seguida, desenhando seu círculo interno menor
Etapa 4. Desenhe um círculo idêntico "em frente" ao círculo interno menor
A seguir, vamos desenhar outro círculo em frente ao nosso primeiro. Este círculo deve ser tangente ao círculo externo grande e ao círculo interno menor, o que significa que seus dois círculos internos se tocarão exatamente no ponto médio do círculo externo grande.
Etapa 5. Aplique o Teorema de Descartes para encontrar o tamanho de seus próximos círculos
Vamos parar de desenhar por um momento. Agora que temos três círculos em nossa junta, podemos usar o teorema de Descartes para encontrar o raio do próximo círculo que desenharemos. Lembre-se de que o teorema de Descartes é d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), onde a, b e c são as curvaturas de seus três círculos tangentes e d é a curvatura do círculo tangente a todos os três. Então, para encontrar o raio de nosso próximo círculo, vamos encontrar a curvatura de cada um dos círculos que temos até agora para que possamos encontrar a curvatura do próximo círculo, então converter isso para seu raio.
-
Vamos definir o raio do nosso círculo externo como
Passo 1.. Como os outros círculos estão dentro deste, estamos lidando com sua curvatura interna (ao invés de sua curvatura externa), e, conseqüentemente, sabemos que sua curvatura é negativa. - 1 / r = -1/1 = -1. A curvatura do grande círculo é - 1.
-
Os raios dos círculos menores são metade do tamanho do círculo grande, ou, em outras palavras, 1/2. Como esses círculos estão se tocando e o círculo grande com sua borda externa, estamos lidando com sua curvatura externa, portanto, suas curvaturas são positivas. 1 / (1/2) = 2. As curvaturas dos círculos menores são ambas
Passo 2..
-
Agora, sabemos que a = -1, b = 2 e c = 2 para a nossa equação do Teorema de Descartes. Vamos resolver para d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. A curvatura do nosso próximo círculo é
Etapa 3.. Uma vez que 3 = 1 / r, o raio do nosso próximo círculo é 1/3.
Etapa 6. Crie seu próximo conjunto de círculos
Use o valor do raio que você acabou de encontrar para desenhar seus próximos dois círculos. Lembre-se de que eles serão tangentes aos círculos cujas curvaturas você usou para a, b e c no teorema de Descartes. Em outras palavras, eles serão tangentes ao círculo original e ao segundo círculo. Para que esses círculos sejam tangentes a todos os três círculos, você precisará desenhá-los nos espaços abertos na parte superior e inferior da área dentro de seu grande círculo original.
Lembre-se de que os raios desses círculos serão iguais a 1/3. Meça 1/3 de volta da borda do círculo externo e desenhe seu novo círculo. Deve ser tangente a todos os três círculos circundantes
Etapa 7. Continue desta forma para continuar adicionando círculos
Por serem fractais, as juntas apolíneas são infinitamente complexas. Isso significa que você pode adicionar círculos cada vez menores ao conteúdo de seu coração. Você está limitado apenas pela precisão de suas ferramentas (ou, se estiver usando um computador, a capacidade de seu programa de desenho "aumentar o zoom"). Cada círculo, não importa o quão pequeno seja, deve ser tangente a três outros círculos. Para desenhar cada círculo subsequente em sua gaxeta, conecte as curvaturas dos três círculos aos quais ela será tangente ao teorema de Descartes. Em seguida, use sua resposta (que será o raio de seu novo círculo) para desenhar seu novo círculo com precisão.
- Observe que a gaxeta que escolhemos desenhar é simétrica, então o raio de um círculo é o mesmo que o círculo correspondente "em frente a ele". No entanto, saiba que nem toda junta apolínea é simétrica.
-
Vamos abordar mais um exemplo. Digamos que, depois de desenhar nosso último conjunto de círculos, queremos agora desenhar os círculos que são tangentes ao nosso terceiro conjunto, nosso segundo conjunto e nosso grande círculo externo. As curvaturas desses círculos são 3, 2 e -1, respectivamente. Vamos conectar esses números ao teorema de Descartes, definindo a = -1, b = 2 e c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Temos duas respostas! No entanto, porque sabemos que nosso novo círculo será menor do que qualquer um dos círculos aos quais é tangente, apenas uma curvatura de
Etapa 6. (e, portanto, um raio de 1/6) faz sentido.
- Nossa outra resposta, 2, na verdade se refere ao círculo hipotético do outro lado do ponto tangente de nosso segundo e terceiro círculos. Este círculo é tangente a ambos os círculos e ao grande círculo externo, mas cruzaria os círculos que já desenhamos, portanto, podemos desconsiderá-lo.
Etapa 8. Para um desafio, tente fazer uma junta apolínea não simétrica alterando o tamanho do seu segundo círculo
Todas as juntas apolínicas começam da mesma forma - com um grande círculo externo que atua como a borda do fractal. No entanto, não há razão para que seu segundo círculo tenha necessariamente de metade do raio do primeiro - escolhemos fazer isso acima porque é simples e fácil de entender. Para se divertir, tente iniciar uma nova gaxeta com um segundo círculo de tamanho diferente - isso o levará a novos e excitantes caminhos de exploração.
